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Matrixdarstellung

Häufig werden mehrere Transformationen hintereinander auf ein Objekt angewendet. Es entstehen Rundungsfehler, wenn nach jeder Einzel-Transformation die ganzzahligen Koordinaten bestimmt werden. Deshalb sollten mehrere Transformationen zu einer zusammengesetzt werden. Dies ist mit Hilfe von Matrizen, die die Transformationen repräsentieren, möglich. Durch Matrizenmultiplikation ($A \cdot B = C$) der Transformationsmatrix $A$ und dem als einspaltige Matrix interpretierten Koordinatenvektor $B$ wird die eigentliche Transformation durchgeführt. Die einzelnen Elemente $c_{ik}$ der Ergebnismatrix $C$ errechnen sich aus den Elementen der Eingangsmatrizen $A$ und $B$ wie folgt:


\begin{displaymath}
c_{ik} = \sum^n_{j=0} a_{ij}\cdot b_{jk}
\end{displaymath}

Eine Skalierung sieht dann z.B. folgendermaßen aus:


\begin{displaymath}
\left ( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right ) :=
\l...
...{array}{c} x \cdot s_{x} \\ y \cdot s_{y} \end{array} \right )
\end{displaymath}

Eine Rotation hat folgendes Aussehen:


\begin{displaymath}
\left ( \begin{array}{c} x'\\ y' \end{array} \right ) :=
\l...
...\cdot \sin (\beta) + y \cdot \cos (\beta) \end{array} \right )
\end{displaymath}

Die Reihenfolge von Matrix und Vektor kann vertauscht werden. Allerdings müssen dann beide transponiert werden:


\begin{displaymath}
A \cdot B = {(B^T \cdot A^T)}^T
\end{displaymath}


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