Lindenmayer-Systeme

Eine nicht-grafische Beschreibung mancher Fraktale erfolgt mit Lindenmayer-Systemen, kurz $L$-Systems.
Ein Beispiel für ein L-System ist die quadratische Koch-Kurve:

Alphabet $\sum = \{ r,u,l,d \}$ für right, up, left, down

Regelmenge $f= \{$	$r$	$\Rightarrow$	$r\ u\ r\ d\ d\ r\ u\ r$,
	$u$	$\Rightarrow$	$u\ l\ u\ r\ r\ u\ l\ u$,
	$l$	$\Rightarrow$	$l\ d\ l\ u\ u\ l\ d\ l$,
	$d$	$\Rightarrow$	$d\ r\ d\ l\ l\ d\ r\ d\ \}$

Ausgehend von einem Startwort $w$ wird in jedem Iterationsschritt auf jedes Zeichen von $w$ eine Regel aus $f$ angewandt.
Sei $w=r\ u$. Dann ist $f (w)=r\ u\ r\ d\ d\ r\ u\ r\ u\ l\ u\ r\ r\ u\ l\ u$.

Abbildung 11.4: Anwendung von 2 Regeln eines Lindenmayer-Systems

Ist nach $n$ Iterationen das Wort $f^{n} (w)$ entstanden, so kann es, zusammen mit dem Parameter $n$ (erforderlich für die Schrittweite), einer Ausgabeprozedur übergeben werden.
Die quadratische Koch-Kurve hat die Dimension $D = \frac{\log(8)}{\log(4)}=1.5$, denn jeder Kantenzug besteht aus $N=8$ Kopien, jeweils skaliert um den Faktor $r=\frac{1}{4}$.

L-System

32 Polygonpunkte

16384 Polygonpunkte