NURBS-Flächen

Eine NURBS-Fläche sieht in homogenen Koordinaten folgendermaßen aus:

$$\vec{q}^h(u,w) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P^h_{i,j} N_{i,k}(u)M_{j,l}(w)$$

Die $P^h_{i,j}$ sind die vierdimensionalen homogenen Stützpunkte. Die $N_{i,k}$ und die $M_{j,l}$ sind die nichtrationalen B-Spline-Basisfunktionen aus Kapitel 7. Um affine Koordinaten zu erreichen, wird wieder durch die homogenen Koordinaten dividiert:

$$\vec{q}(u,w) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} h_{i,j}P_... ...{j,l}(w)} =\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{i,j} S_{i,k}(u, w)$$

wobei $P_{i,j}$ die dreidimensionalen Stützpunkte sind. Sie ergeben das Kontrollnetz für die Oberfläche. Bei den $S_{i,j}(u, w)$ handelt es sich um die biparametrisierten Flächenbasisfunktionen

$$S_{i,j}(u,w)= \frac{h_{i,j}N_{i,k}(u)M_{j,l}(w)}{\sum_{i1=0}^{n}\sum_{j1=0}^{m}h_{i1, j1}N_{i1,k}(u)M_{j1,l}(w)}$$

Die $S_{i,j}(u, w)$ sind nicht das Produkt der $R_{i,k}(u)$ und der $R_{j,l}(w)$ aus Kapitel 7. Sie haben aber ähnliche analytische Eigenschaften, so daß die NURBS-Fläche ähnliche analytische und geometrische Eigenschaften, wie die früher erwähnten NURBS-Kurven:

• Die $S_{i,j}(u, w)$ addieren für ein festes Paar von $u$ und $w$ zu 1.

• $S_{i,j}(u, w) \geq 0 ~\forall u,w$

• Der maximale Grad der Basispolygone ist gleich der Zahl der Kontrollpunkte -1 in der entsprechenden Dimension.

• Eine NURBS-Kurve der Ordnung $k,l$ (Grad $k-1, l-1$) ist überall $C^{k-2}, C^{l-2}$ stetig.

• NURBS-Flächen sind invariant bgzl. perspektivischer Projektion. Es genügt, die Stützpunkte mit der Viewing Pipeline zu transformieren und die eigentliche Interpolation im DC vorzunehmen.

• Wenn gilt $h_{i,j} \geq 0 ~\forall i,j$, liegt die Fläche innerhalb der konvexen Hülle des Kontrollnetzes.

• Der Einfluß eines Stützpunktes ist begrenzt auf $\pm k/2, \pm l/2$ Interpolationsabschnitte in jeder Parameterdimension.

• Um die Normale der Fläche in einem beliebigen Punkt zu berechnen, müssen die Richtungsableitungen bzgl. $u$ und $w$ in diesem Punkt gebildet werden.