Kurven erster Ordnung (Geraden) ergeben nur den Linienzug. Ein solcher
Linienzug ist -stetig, da die einzelnen Linien an den Stützpunkten
dieselben
-und
-Werte haben.
Kurven zweiter Ordnung (Parabeln) kann man so wählen, daß sie an den
Intervallgrenzen einmal stetig differenzierbar (-stetig) sind.
Geometrisch bedeutet das, daß dort nicht nur die Orte übereinstimmen,
sondern auch die Steigungen. Mit Parabeln lassen sich nur Kegelschnitte
darstellen; die Einsatzmöglichkeiten sind also begrenzt.
Kurven dritter Ordnung mit stetigen ersten und zweiten Ableitungen
(-stetig)
an den Intervallgrenzen (kubische Splines) können zu einer Gesamtkurve
mit weichen Übergängen an den Nahtstellen zusammengesetzt werden.
''weich'' heißt, daß das Auge der gezeichneten Kurve nicht mehr ansehen
kann, wo die Stützpunkte liegen.
Neben der Steigung ist auch die Krümmung identisch.
Dies sind die einfachsten Kurven, mit
denen sich bereits komplexe Formen erzeugen lassen.
Die Stützpunkte seien
, die resultierenden Intervalle
seien
, die für das Intervall
zuständige Funktion sei
,
.
Jedes hat die Form
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für |
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gleicher Wert |
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für |
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gleiche Steigung |
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für |
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gleiche Steigungsänderung |
Durch Festlegung von
wird das Gleichungssystem abgeschlossen.
Für die Folge reicht jede monoton wachsende Folge.
Geeignet ist z.B. die Folge der euklidischen Abstände
zwischen den Stützpunkten.
Statt den Abstand
zu berechnen, verwendet man die
Näherungsformel
.