Gegeben eine komplexe Funktion
f : ,
z.B. f (z) = z 2.
Wähle Startwert z0 .
Betrachte die Folge
z0,z02,z04,z08,.... Es gilt:
- a)
- für |z0| < 1 werden die erzeugten Zahlen immer
kleiner und konvergieren zum Nullpunkt,
- b)
- für |z0| > 1 werden die erzeugten Zahlen immer
größer und laufen gegen unendlich,
- c)
- für |z0| = 1 bleiben die Zahlen auf dem
Einheitskreis um den Ursprung, der die Gebiete a) und b) trennt.
Die Menge c) wird Julia-Menge
genannt. Sie ist invariant bzgl. der komplexen Funktion f (z) und punktsymmetrisch zum Ursprung.
Julia-Kurve für f (z) = z 2
Es gilt: Julia-Menge für
f (z) = z 2 + c
ist genau dann zusammenhängend, wenn c in der Mandelbrotmenge
für f (z) liegt.