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Kugel

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 kann beschrieben werden durch

\begin{displaymath}
( \sin (\theta ) \cos ( \phi ), \sin (\theta ) \sin (\phi ), \cos
(\theta )), 0 \leq \phi < 2 \pi , 0 \leq \theta < \pi\ .
\end{displaymath}

Zur Approximation durch Flächen wird der Vollwinkel in $n$ Teile zerlegt:

\begin{displaymath}
\alpha = ( 2 \pi ) / n,\ \ n \in \mathbb{N}\mbox{ gerade }.
\end{displaymath}


Abbildung 16.5: Konstruktion einer Kugel mit Radius 1 im Ursprung

Dadurch entstehen auf der Kugel $n / 2$ gleichgroße Längenkreise und $(n / 2 - 1)$ verschieden große Breitenkreise. Diese schneiden $n$ Dreiecke an jedem Pol und $n(n / 2 - 2)$ Vierecke aus der Kugeloberfläche. Die Ortsvektoren der Eckpunkte eines Dreiecks am Nordpol $( \theta = 0 )$ lauten

\begin{displaymath}
(0, 0, +1, 1),\\
(\sin (\alpha ) \cos ( \phi ), \sin (\alph...
... \sin (\alpha ) \sin ( \phi +
\alpha ), \cos (\alpha ), 1),\\
\end{displaymath}

mit $ \phi = k \cdot \alpha $, $k \in \{0,..., n-1\}$.

Die Eckpunkte eines der Vierecke haben die Ortsvektoren

$(\sin (\theta ) \cos (\phi ), \sin (\theta ) \sin (\phi ), \cos
(\theta ), 1)$
$(\sin (\theta ) \cos (\phi + \alpha ), \sin (\theta ) \sin (\phi +
\alpha ), \cos ( \theta ), 1)$
$(\sin (\theta + \alpha ) \cos ( \phi + \alpha ),
\sin (\theta + \alpha ) \sin (\phi + \alpha ), \cos ( \theta + \alpha ),
1)$
$(\sin ( \theta + \alpha ) \cos ( \phi ), \sin ( \theta + \alpha )
\sin (\phi ), \cos ( \theta + \alpha ), 1)$

mit $ \phi = k \cdot \alpha , k \in \mathbb{N}, k < n$ und $ \theta = l \cdot \alpha , l \in \mathbb{N}, 0 < l < (n / 2 - 1)$.

Als Normalenvektor wird in jedem Eckpunkt der Ortsvektor als Richtungsvektor ($w = 0$) eingetragen, denn der Radiusvektor steht senkrecht auf der Kugeloberfläche. Einen Ellipsoid erzeugt der Rendering-Algorithmus aus der Kugel durch ungleichmäßige Skalierung beim Modeling.


Abbildung 16.6: Breiten- und Längengrade einer Kugel-Approximation


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