Es sollen nun nicht alle Stützpunkte Einfluß auf den gesamten Kurvenverlauf haben und der Grad der Polynome soll unabhängig von der Zahl der Stützpunkte sein.
Spezifiziere die Kurve durch Stützpunkte
,
und einen Knotenvektor
und Polynome
Die Punkte wirken sich nur auf maximal
Kurvenabschnitte
aus und werden gewichtet durch die Basis des B-Splines,
Polynome
, abschnittsweise vom Grad
(
) :
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(7.1) |
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(7.2) |
Bei Division durch Null wird der Quotient gleich gesetzt.
Durch die Wahl von und
geht jeder Stützpunkt auf einzigartige
Weise in die Kurve ein.
kann entweder uniform (die
sind
äquidistant) oder nicht uniform gewählt werden. Jede der beiden
Arten kann offen (Anfang und Ende von
bestehen jeweils aus
-mal dem kleinsten bzw. größten
) oder periodisch (es
ergeben sich periodische Gewichtungspolynome, die durch einfaches
Verschieben auseinander hervorgehen) sein.
Der Knotenvektor wird häufig wie folgt gewählt für
:
Hierdurch wird im Intervall
definiert.
Beispiel: ,
ergibt einen offenen uniformen quadratischen
B-Spline mit dem Knotenvektor
.
Die Stützpunkte
haben nur lokal Einfluß auf den Kurvenverlauf, und zwar in den Intervallen
.
Sonderfall
Für ergibt sich für den Knotenvektor der Sonderfall
Die zugehörigen B-Splinefunktionen haben die schon bekannte Form
Somit lassen sich also die B-Splinefunktionen als Verallgemeinerung der Bernsteinpolynome auffassen.
Wie bei den Bernsteinpolynomen gilt auch für die B-Splinefunktionen
, daß sie positiv sind, und
Eigenschaften
B-Splines haben zwei weitere Eigenschaften, die für den praktischen Einsatz von großem Interesse sind:
Konvexe Hülle
Die Kurvenpunkte eines B-Splines ergeben sich durch eine baryzentrische
Kombination der Stützpunkte. Da die Gewichtungspolynome für alle
Parameterwerte größer oder gleich Null sind, handelt es sich sogar um
eine konvexe Kombination. Deren Werte liegen innerhalb der konvexen
Hülle der Stützpunkte.