Transformation der Normalenvektoren

Die Normalenvektoren müssen bei der Transformation von Objektpunkten ebenfalls abgebildet werden. Wenn diese Transformation z.B. eine nicht-uniforme Skalierung ist, dann bleiben die Winkel zwischen einzelnen Flächen nicht erhalten.

Winkeluntreue unter nicht uniformer Skalierung

Wenn die Normale $\vec{n}$ mit derselben Matrix $M$ transformiert wird, wie die Objektpunkte einer Fläche $F$, ist $\vec{n}$ anschließend evtl. nicht mehr senkrecht zu $F$.

Wie muß $\vec{n}$ transformiert werden?

Seien $P_1, P_2$ zwei Punkte der Ebene mit Normalenvektor $\vec{n}$. Sei $\vec{r} =~P_2 - P_1$.

Offenbar gilt

$$\vec{n}^T \cdot \vec{r} = 0$$

Daraus folgt

$$\Rightarrow \vec{n}^T \cdot M^{-1}M\cdot \vec{r} = 0$$

Durch zweimaliges Transponieren erhält man

$$((M^{-1})^T \cdot \vec{n})^T \vec{r'} =~0$$

Für den transformierten Vektor $\vec{n'}$ muss offenbar gelten

$$\vec{n'}^T \cdot \vec{r'}=~0$$

Aus den beiden Gleichungen folgt daher

$$(M^{-1})^T \cdot \vec{n} =~ \vec{n'}$$

Also muss bei einer Fläche der Normalenvektor $\vec{n}$ mit der transponierten Inversen der Transformationsmatrix $M$ transformiert werden.