Fraktale Dimension

Ein selbstähnliches Objekt hat $Dimension\ D$, falls es in $N$ identische Kopien unterteilt werden kann, die jeweils skaliert sind mit dem Faktor $${r=\frac{1}{N^{\frac{1}{D}}}}$$.

Beispiel:

Linie hat Dimension $1$, denn sie besteht aus $N$ Stücken der Größe $\frac{1}{N}$.
Quadratische Fläche hat Dimension $2$, denn sie besteht aus $N$ Flächen der Größe $${\frac{1}{N^{\frac{1}{2}}}}$$,
z.B. 9 Teilflächen mit Kantenlängen skaliert um $${r=\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{3}}$$

Sind $N$ und $r$ bekannt, läßt sich $D$ bestimmen:

Beispiel:

Die Koch'sche Schneeflocke hat Dimension $D=\frac{\log(4)} {\log(3)}=1.2618$, denn jeder Kantenzug besteht aus $N=4$ Kopien, jeweils skaliert um den Faktor $r=\frac{1}{3}$.