Aufgabe 2.1 (20 Punkte)

Seien die Dreiecke $D_{1}$ durch die Eckpunkte $P_{1}\left(1,1\right)$, $P_{2}\left(5,1\right)$ und $P_{3}\left(1,5\right)$ und $D_{2}$ durch die Eckpunkte $P_{1}^{\prime}\left(10,4\right)$, $P_{2}^{\prime}\left(10,7\right)$ und $P_{3}^{\prime}\left(4,4\right)$ gegeben.

1. Zeichnen Sie die Dreiecke $D_{1}$ und $D_{2}$.
2. Geben Sie Transformationen $T$, $R$ und $S$ an, sodass $M=T\cdot R\cdot S$ den Punkt $P_{i}$ in den Punkt $P_{i}^{\prime}$ für $i\in\left\{ 1,2,3\right\}$ überführt. Hierbei soll $T$ eine Translation, $R$ eine Rotation und $S$ eine Skalierung sein.
3. Stellen Sie die Matrix $M$ auf und zeigen Sie durch Nachrechnen, dass sie die Voraussetzungen erfüllt.

Musterlösung vom 09.05.2012:

1. aufgabe21ausgangslage
2. Aus der Zeichnung wird deutlich, dass $D_{1}$ um $\frac{\pi}{2}$ gegen den Uhrzeigersinn (CCW) gedreht werden muss. Die vorher durchgeführte Skalierung muss darauf Rücksicht nehmen. Die Ausdehnung von $D_{1}$ ist jeweils 4 Einheiten in $x$- und $y$-Richtung. Die Ausdehnung von $D_{2}$ ist 6 in $x$- und 3 in $y$-Richtung. Es ergibt sich die Skalierungsmatrix
   
   $$S=\left(\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & 0 & 0\\ 0 & \frac{6}{4} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Die Rotationsmatrix $R$ hat wegen $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ und $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ die Gestalt
   
   $$R=\left(\begin{array}{ccc} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) & ... ...{ccc} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Mit diesen beiden Transformationen hat das Dreieck die gewünschte Form. Um es an die richtige Stelle zu verschieben, berechnen wir zunächst mit Hilfe von $S$ und $R$ den transformierten Punkt $P_{1}$ (für die Matrixmultiplikation wird $z=1$ ergänzt).
   
   $$R\cdot S\cdot P_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\frac{3}{2... ...begin{array}{c} -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{4} \end{array}\right)$$
   
   
   Um $R\cdot S\cdot P_{1}$ in den Punkt $P_{1}'$ zu verschieben, müssen wir also $P_{1}'-R\cdot S\cdot P_{1}=\left(\begin{array}{c} 10\\ 4 \end{array}\right)-\l... ...}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{23}{2}\\ \frac{13}{4} \end{array}\right)$ als Translationsvektor nehmen. Wir erhalten für die Translationsmatrix also
   
   $$T=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{23}{2}\\ 0 & 1 & \frac{13}{4}\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   

3. Die Gesamtmatrix ist
   
   $$M=T\cdot R\cdot S=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & \frac{23}... ...\frac{3}{4} & 0 & \frac{13}{4}\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$