Aufgabe 2.1 (20 Punkte)
Seien die Dreiecke
durch die Eckpunkte
,
und
und
durch die Eckpunkte
,
und
gegeben.
- Zeichnen Sie die Dreiecke
und
.
- Geben Sie Transformationen
,
und
an, sodass
den Punkt
in den Punkt
für
überführt. Hierbei soll
eine Translation,
eine Rotation
und
eine Skalierung sein.
- Stellen Sie die Matrix
auf und zeigen Sie durch Nachrechnen,
dass sie die Voraussetzungen erfüllt.
Musterlösung vom 09.05.2012:
- aufgabe21ausgangslage
- Aus der Zeichnung wird deutlich, dass
um
gegen den Uhrzeigersinn (CCW) gedreht werden muss. Die vorher durchgeführte
Skalierung muss darauf Rücksicht nehmen. Die Ausdehnung von
ist jeweils 4 Einheiten in
- und
-Richtung. Die Ausdehnung
von
ist 6 in
- und 3 in
-Richtung. Es ergibt sich
die Skalierungsmatrix
Die Rotationsmatrix
hat wegen
und
die Gestalt
Mit diesen beiden Transformationen hat das Dreieck die gewünschte
Form. Um es an die richtige Stelle zu verschieben, berechnen wir zunächst
mit Hilfe von
und
den transformierten Punkt
(für
die Matrixmultiplikation wird
ergänzt).
Um
in den Punkt
zu verschieben, müssen
wir also
als Translationsvektor nehmen. Wir erhalten für die Translationsmatrix
also
- Die Gesamtmatrix ist