Aufgabe 2.3 (40 Punkte)

Sei das Dreieck $D_{1}$ durch die Punkte $P_{1}\left(0,1,3\right)$, $P_{2}\left(1,-1,2\right)$ und $P_{3}\left(-1,2,1\right)$ und die folgenden Transformationen in $\mathbb{R}^{4\times4}$ gegeben.

• Rotation $R_{x}$ um $\alpha_{x}=\frac{2\pi}{3}$ um die $x$-Achse,
• Rotation $R_{y}$ um $\alpha_{y}=-\frac{2\pi}{6}$ um die $y$-Achse,
• Skalierung $S$ um den Faktor $\left(1,-\frac{1}{2},2\right)$ und
• Translation $T$ um den Vektor $\left(-1,-2,2\right)$.

1. Stellen Sie die einzelnen Transformationsmatrizen exakt auf und berechnen Sie das Produkt $M=T\cdot S\cdot R_{y}\cdot R_{x}$ ebenfalls exakt.
2. Berechnen Sie das Dreieck $D_{2}$, welches durch das Anwenden der Gesamttransformation $M$ auf das Dreieck $D_{1}$ entsteht.
3. Berechnen Sie die inverse Transformation $M^{-1}$ zu $M$ exakt.
4. Erweitern Sie das Projekt aus Aufgabe 2 und schreiben Sie eine Javaklasse Transformation, in deren main-Methode das Dreieck $D_{2}$ mithilfe der Klassen Vector4f und Matrix4f aus dem Package org.lwjgl.util.vector berechnet wird.

Musterlösung vom 09.05.2012:

1. Für die Rotationen ergeben sich die Matrizen
   
   $$R_{x}\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1... ...{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   und
   
   $$R_{y}\left(-\frac{2\pi}{6}\right)=\left(\begin{array}{cccc} ... ...{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Für die Skalierung S und die Translation T ergeben sich die Matrizen
   
   $$S\left(1,-\frac{1}{2},2\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 &... ...} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   und
   
   $$T\left(-1,-2,2\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & ... ...& 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Die Multiplikation der beiden Rotationen ergibt
   
   $$R_{y}\cdot R_{x}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & 0 &... ...3}}{4} & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Die Multiplikation der Translation mit der Skalierung ergibt
   
   $$T\cdot S=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 1 &... ...& 0 & -2\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).$$
   
   
   Und somit ist die gesamte Transformation
   $$\begin{eqnarray*} M & = & \left(T\cdot S\right)\cdot\left(R_{y}\cdot R_{x}\right... ...t{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right). \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

2. Um das Dreieck $D_{1}$ in das transformierte Dreieck zu überführen, müssen die einzelnen Punkte mit der Matrix M multipliziert werden. Um die Multiplikation ausführen zu können, müssen die Vektoren natürlich um die homogene Koordinate $w=1$ erweitert werden.
   
   $$Q_{1}=M\cdot P_{1}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -... ...\sqrt{3}-7}{4}\\ \frac{\sqrt{3}+1}{2}\\ 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$Q_{2}=M\cdot P_{2}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -... ...\sqrt{3}-9}{4}\\ \frac{\sqrt{3}+2}{2}\\ 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$Q_{3}=M\cdot P_{3}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -... ...\ \frac{\sqrt{3}-6}{4}\\ \frac{3}{2}\\ 1 \end{array}\right)$$
   
   
   Das Dreieck $D_{2}$ setzt sich dann aus den Punkten $Q_{1},Q_{2}$ und $Q_{3}$ zusammen.
3. Um die Transformation $M$ zu invertieren, werden ihre Bestandteile jeweils invertiert und dann in umgekehrter Reihenfolge zusammengefügt.
   
   $$R_{x}\left(\frac{2}{3}\pi\right)^{-1}=R_{x}\left(-\frac{2}{3... ...{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$R_{y}\left(-\frac{2}{6}\pi\right)^{-1}=R_{y}\left(\frac{2}{6... ...}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$S\left(1,-\frac{1}{2},2\right)^{-1}=S\left(1,-2,\frac{1}{2}\... ...\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$T\left(-1,-2,2\right)^{-1}=T\left(1,2,-2\right)=\left(\begin... ... & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$R_{x}^{-1}\cdot R_{y}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1... ...{3}}{2} & -\frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   
   
   $$S^{-1}\cdot T^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1\\... ... 0 & 0 & \frac{1}{2} & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$
   
   
   Und damit erhalten wir schließlich die Gesamttransformation
   $$\begin{eqnarray*} M^{-1} & = & \left(R_{x}^{-1}\cdot R_{y}^{-1}\right)\cdot\left... ...& \frac{1+9\cdot\sqrt{3}}{4}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

/home/cg/2012/Uebung/Blatt2/Aufg/Transformation.java