Wenn wir ein Koordinatensystem wählen, um die Punkte des zu beschreiben, dann wählen wir damit auch eine Basis, die den Vektorraum aufspannt. Die Basisvektoren sind die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen. Zwei verschiedene Koordinatensysteme haben zwei verschiedene Basen.
Die Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes bedeutet also einen Basiswechsel. Gegeben sei ein Koordinatensystem (z.B. das Kartesische Koordinatensystem) mit zugehöriger Basis . Z.B. die kanonische Basis (in Matrixschreibweise mit Spaltenvektoren):
In homogenen Koordinaten werden als vierter Spaltenvektor die
Koordinaten des Ursprungs von Koordinatensystem , beschrieben bzgl. Basis
(hier also:
), hinzugenommen:
Weiterhin sei ein zweites - von verschiedenes - Koordinatensystem gegeben. Auch dieses Koordinatensystem spezifiziert 4 ausgezeichnete Elemente: Seinen Ursprungspunkt und die drei Einheitsvektoren , , .
Diese Elemente lassen sich sowohl bzgl. der Basis als auch bzgl. der Basis darstellen. Um von einer Darstellung in die andere zu kommen, muß die gegebene Darstellung nur mit der im Folgenden beschriebenen Matrix multipliziert werden.
Wenn man die homogenen Koordinatenvektoren in Spaltenschreibweise nebeneinander
anordnet ergeben sie die Matrix
, die den Übergang von Basis zur Basis
beschreibt:
Beispiel (für den 2-dimensionalen Fall):
-Achse: | lautet | ||
-Achse: | lautet | ||
Ursprung: | lautet | ||
Punkt: | lautet |
Der Aufbau der Matrix repräsentiert die erforderliche Drehung und Verschiebung, um einen aus der Sicht von Koordinatensystem (also bzgl. Basis beschriebenen Punkt aus der Sicht von Koordinatensystem (also bzgl. ) zu beschreiben. Im zwei-dimensionalen Fall wird zunächst der Punkt um den Winkel gedreht, der sich zwischen den Achsen der Koordinatensysteme und befindet. Dann wird eine Translation durchgeführt mit dem Wert der Ursprungsposition von . Cosinus und Sinus des Drehwinkels ergeben sich gerade aus den Werten bzw. , wobei die Einheitsvektoren und die Basis für Koordinatensystem darstellen.
Also läßt sich in obigem Beispiel der Punkt wie folgt transformieren:
Um einen Punkt
im Koordinatensystem bzgl. des Koordinatensystems
zu spezifizieren, verwendet man die inverse
Matrix zu
: