Die Radiosity-Gleichung (Beleuchtungsgleichung)

Die bisher betrachteten Schattierungsalgorithmen behandeln die Lichtquellen immer unabhängig von den beleuchteten Flächen. Bei den Radiosity-Verfahren kann dagegen jede Fläche Licht abstrahlen. Daher werden alle Lichtquellen mit einem inhärenten Flächeninhalt modelliert. Die Szene wird in eine endliche Anzahl $n$ diskreter Flächenelemente (Patches) zerlegt. Jedes dieser Elemente hat endliche Größe, strahlt über die gesamte Fläche gleichmäßig Licht ab und reflektiert Licht. Wenn man jedes der $n$ Flächenelemente als opaken, diffusen Lambertschen Strahler und Reflektierer betrachtet, gilt für Fläche $i$

mit

$E_i$	$=$	von der Fläche $i$ abgegebene Eigenstrahlung pro Flächeneinheit
$\rho_i$	$=$	Reflexionsvermögen der Fläche $i$
$n$	$=$	Anzahl der Flächen
$A_i$	$=$	Größe der Fläche $i$
$F_{ji}$	$=$	Anteil an der von Fläche $j$ abgegebenen Energie, die auf Fläche $i$ auftrifft, pro Flächeneinheit, genannt Formfaktor
$B_i$	$=$	von Fläche $i$ abgestrahlte Energie (Summe aus Eigenstrahlung und Reflexion als Energie pro Zeit und pro Flächeneinheit), genannt Radiosity der Fläche $i$

Die Gleichung besagt, daß die Energie, die eine Flächeneinheit verläßt, aus der Summe des abgestrahlten und des reflektierten Lichts besteht. Das reflektierte Licht berechnet sich aus der Summe des einfallenden Lichts, multipliziert mit dem Reflexionsvermögen. Das einfallende Licht besteht wiederum aus der Summe des Lichts, das alle Flächen der Szene verläßt, multipliziert mit dem Lichtanteil, der eine Flächeneinheit des empfangenden Flächenelements erreicht. $B_{j} \cdot F_{ji} \cdot A_j$ ist der Betrag des Lichts, das die ganze Fläche $j$ verläßt und die Fläche $i$ erreicht.

Zwischen den Formfaktoren in diffusen Szenen besteht eine nützliche Beziehung:

wobei $A_i$ und $A_j$ die Flächeninhalte sind. Daraus ergibt sich

Umordnen der Ausdrücke liefert

Also kann der Austausch von Licht innerhalb der Flächenelemente der Szene durch ein Gleichungssystem ausgedrückt werden:

Man beachte, daß der Beitrag eines Flächenelements zu seiner eigenen reflektierten Energie berücksichtigt werden muß (es könnte zum Beispiel konkav sein). Daher haben im allgemeinen nicht alle Terme auf der Diagonalen den Wert Eins.

Wenn man die Gleichung löst, erhält man für jedes Flächenelement einen Strahlungswert. Die Elemente können dann für jeden gewünschten Blickpunkt mit einem gewöhnlichen Algorithmus zur Ermittlung sichtbarer Flächen gerastert werden. Die Strahlungswerte sind die Intensitäten dieses Elements.

Gauß-Seidel-Iterations-Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen

Die $i$-te Gleichung eines linearen Gleichungssystems $Ax = b$ lautet:

Wenn alle Diagonalelemente von $A$ ungleich Null sind, gilt:

Das Iterations-Verfahren startet mit einer Schätzung $x_1$, die auf der rechten Seite eingesetzt wird zur Berechnung von $x_{1}[1]$. Im nächsten Schritt wird zur Berechnung von $x_{1}[2]$ bereits $x_{1}[1]$ benutzt. Ein Iterationsschritt lautet also:

Bei Konvergenz wird das Verfahren nach $k$ Iterationsschritten abgebrochen, wenn $b - Ax_{k}$ genügend klein geworden ist.