Berechnung der Formfaktoren

Die Formfaktoren lassen sich definieren über die Gleichung

mit

$\phi_i$	$=$	Winkel zwischen Normale auf Fläche $i$ und Verbindungslinie zwischen Fläche $i$ und Fläche $j$
$\phi_j$	$=$	Winkel zwischen Normale auf Fläche $j$ und Verbindungslinie zwischen Fläche $i$ und Fläche $j$
$r_{ij}$	$=$	Entfernung zwischen Fläche $dF_i$ und Fläche $dF_j$
$b_{ij}$	$=$	Blockierungsfunktion, falls Teile von Fläche $j$ aus der Sicht von Fläche $i$ verdeckt sind.
$A_i$	$=$	Flächeninhalt von Fläche $F_i$

Abbildung 23.1: Der Berechnung von Formfaktoren zugrundeliegende Geometrie

Die geometrische Interpretation beschreibt den Formfaktor als das Verhältnis der Basisfläche einer Halbkugel zur Orthogonalprojektion der auf die Halbkugel projizierten Fläche: Erst projiziert man die von $F_i$ aus sichtbaren Teile von $F_j$ auf eine Halbkugel mit Radius 1 um $dF_i$, projiziert diese Projektion orthogonal auf die kreisförmige Grundfläche der Halbkugel und dividiert schließlich durch die Kreisfläche. Die Projektion auf die halbe Einheitskugel entspricht in der Gleichung dem Term $\cos \phi_{j}/r^{2}_{ij}$, die Projektion auf die Grundfläche entspricht der Multiplikation mit $\cos \phi_i$, und die Division durch den Flächeninhalt des Einheitskreises liefert den Wert $\pi$ im Nenner.

Abbildung 23.2: Geometrische Interpretation des Formfaktors

Abbildung 23.3: Simulation der Halbkugel durch Halbwürfel

Zur numerischen Berechnung wird die Halbkugel durch einen Halbwürfel (hemi-cube) mit dem Zentrum im Ursprung und dem Normalvektor in der $z$-Achse ersetzt. Die Oberseite des Würfels ist dabei parallel zur Fläche. Jede Seite des Halbwürfels wird in ein Raster gleich großer quadratischer Zellen aufgeteilt. (Die Auflösungen reichen von $50 \times 50$ bis zu mehreren Hundert pro Seite.) Dann wird jedes Flächenelement auf die Seiten des Halbwürfels projiziert. Jeder Zelle des Halbwürfels ist ein Delta-Formfaktor zugeordnet, der von der Position der Zelle abhängt und vorher berechnet wird. Für eine beliebig feine Rasterung der Quaderoberfläche ergibt sich der Formfaktor $F_{ij}$ als Summe aller von der Fläche $F_j$ überdeckten Rasterzellen. Wird eine Rasterzelle von mehreren Flächen überdeckt, wird sie der Fläche mit der geringsten Entfernung zugerechnet. Für die Summe aller Formfaktoren einer Fläche $F_i$ gilt