Unterabschnitte

• Codierung
• Operatoren
• Konstantenbezeichner

Gleitkommazahlen ( float, double)

Die Typen float und double dienen zur Speicherung von Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754-1985 in der Form Vorzeichen, Exponent, Mantisse.

Codierung

Bei der Codierung für 32 Bits ( float) benötigt das Vorzeichen 1 Bit, der Exponent 8 Bits, die Mantisse 23 Bits.

X	XXXXXXXX	XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Vorzeichen s	Exponent e	Mantisse f

Wert =

Bei einer normalisierten Darstellung liegt der Wert der Mantisse 1.f im Intervall [1, 2[.

Hierbei haben Dualzahlen nach dem Komma

0.d_-1d_-2d_-3...d_-k die Bedeutung d_i ^. 2ⁱ

Algorithmus dezimal dual:

Sei Dezimalzahl x gegeben. Bestimme größte 2-er Potenz 2^d mit 2^d x. Setze f = (x - 2^d)/2^d. Offenbar gilt

x = (1 + f ) ^. 2^d mit 0 f < 1.

Bestimme die Dualzahl-Bits von f durch

for (i = 0; i < 23; i++) {
   f = f * 2.0;
   if (f >= 1.0) {IO.print('1'); f = f - 1.0;}
      else IO.print('0');
}

Beispiel:

Sei x = 13.5 gegeben. Als Codierung ergibt sich

s = 0

f =

e = 3 + 127 = 130

0	10000010	10110000000000000000000
Vorzeichen	Exponent	Mantisse

Bei einer subnormalisierten Darstellung liegt der Wert der Mantisse 0.f im Intervall [0, 1[.

Exponent e = 0 und Mantisse f = 0 repräsentieren die vorzeichenbehaftete Null. Exponent e = 255 und Mantisse f = 0 repräsentieren das vorzeichenbehaftete Unendlich( + , - ). Exponent e = 255 und Mantisse f 0 repräsentieren die undefinierte Zahl NaN (not a number).

Beispiel: 2^-130 = 1/16 ^. 2^-126

Daraus folgt

s = 0

f = 0.0625  =  1/16

e = 0

Codierung

0	00000000	00010000000000000000000
Vorzeichen	Exponent	Mantisse

Die größte darstellbare positive Zahl liegt knapp unter

2 ^. 2^{254 - 127} = 2¹²⁸ 10³⁸

0	11111110	11111111111111111111111
Vorzeichen	Exponent	Mantisse

Die kleinste darstellbare positive Zahl lautet

2^{-23 .} 2^-126 = 2^-149 10^-45

0	00000000	00000000000000000000001
Vorzeichen	Exponent	Mantisse

Bei der Codierung für 64 Bits ( double) benötigt das Vorzeichen 1 Bit, der Exponent 11 Bits, die Mantisse 52 Bits.

X	XXXXXXXXXXX	XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Vorzeichen s	Exponent e	Mantisse f

Wert =

Damit liegt die größte darstellbare positive Zahl knapp unter

2 ^. 2^{2046 - 1023} 10³⁰⁸

Die kleinste darstellbare positive Zahl lautet

2^{-52 .} 2^-1022 = 2^-1074 10^-324

Operatoren

+	:	Gleitkomma x Gleitkomma		Gleitkomma	Addition
-	:	Gleitkomma x Gleitkomma		Gleitkomma	Subtraktion
*	:	Gleitkomma x Gleitkomma		Gleitkomma	Multiplikation
/	:	Gleitkomma x Gleitkomma		Gleitkomma	Division
%	:	Gleitkomma x Gleitkomma		Gleitkomma	Modulo
++	:	Gleitkomma		Gleitkomma	Inkrement um 1.0
--	:	Gleitkomma		Gleitkomma	Dekrement um 1.0

Multiplikation: (Exponenten addieren, Mantissen multiplizieren)

Beispiel:	12	*	20	=
	1.5 . 23	*	1.25 . 24	=
	1.5 . 1.25	*	23 . 24	=
	1.875	*	27	=	240

Addition: (Exponenten angleichen, Mantissen addieren)

Beispiel:	12	+	20	=
	1.5 . 23	+	1.25 . 24	=
	0.75 . 24	+	1.25 . 24	=
	(0.75 + 1.25)	*	24	=
	1	*	25	=	32

Problem beim Angleichen der Exponenten:

Beispiel:	1024	+		=
	1 . 210	+	1 . 2-20	=
	1 . 210	+	2-30 . 210	=
	1 . 210	+	0 . 210	=	1024

Bei 23 Bits für die Mantisse ist 2^-30 nicht mehr darstellbar.

Gleitkommaoperationen stoßen in Java keine Ausnahmebehandlung an. D.h., Division durch Null führt nicht zum Abbruch, sondern ergibt den Wert + bzw. - ; Null dividiert durch Null ergibt NaN (not a number).

Konstantenbezeichner

Beispiele:	.2
	2
	2.
	2.0
	2.538
	2.538f
	2.5E2	=	2.5*102	=	250
	2.5E-2	=	2.5*10-2	=	0.025

Source: Gleitkomma.java     JavaDoc: Gleitkomma.html     Applet: