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13.4 Transformation von Koordinatensystemen

Die Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes bedeutet einen Basiswechsel und läßt sich folgendermaßen formalisieren: Gegeben sei ein Koordinatensystem A , in dem ein anderes Koordinatensystem B durch die homogenen Koordinaten des Ursprungs ( Bw ) und die drei normierten Richtungsvektoren der Achsen ( Bx , By , Bz ) definiert ist. Zeilenweise angeordnet ergeben diese Vektoren die Matrix B _ A , die den Übergang vom Koordinatensystem B zum Koordinatensystem A beschreibt:


Beispiel (für den 2-dimensionalen Fall):


x -Achse: Bx lautet [,,0]
y -Achse: By lautet [- ,,0]
Ursprung: Bw lautet [4,1,1]
Punkt: p _ B lautet [2 · ,4 · ,1]

Der Aufbau der Matrix B repräsentiert die erforderliche Drehung und Verschiebung, um einen aus der Sicht von Koordinatensystem B beschriebenen Punkt p aus der Sicht von Koordinatensystem A zu beschreiben. Im zwei-dimensionalen Fall wird zunächst der Punkt p um den Winkel gedreht, der sich zwischen den Achsen der Koordinatensysteme A und B befindet. Dann wird eine Translation durchgeführt mit dem Wert der Ursprungsposition von B . Cosinus und Sinus des Drehwinkels ergeben sich gerade aus den Werten a bzw. b , wobei die Einheitsvektoren (a,b) und (- b,a) die Basis für Koordinatensystem B darstellen.

Also läßt sich in obigem Beispiel der Punkt p wie folgt transformieren:

Um einen Punkt p _ A des Koordinatensystems A im Koordinatensystem B zu spezifizieren, verwendet man die inverse Matrix zu B _ A :


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