Perspektivische Projektion

Die abgebildeten Objekte werden proportional zu ihrem Abstand zur Bildebene verkleinert. Je nachdem, ob die Bildebene eine, zwei oder drei der Koordinatenachsen schneidet, entstehen ein, zwei oder drei Fluchtpunkte.

Abbildung 12.2: Zentralprojektionen mit unterschiedlich vielen Fluchtpunkten

OBdA sei die Bildebene gleich der $x y$-Ebene, und das Projektionszentrum liege auf der negativen $z$-Achse im Punkt $Z=( 0,0,-a )$. Gegeben Punkt $P=(x,y,z)$. Gesucht sind auf der Bildebene die Koordinaten des projizierten Bildpunktes $P' = ( x' ,y' ,0)$ .

Abbildung 12.3: Anwendung der Strahlensätze

Betrachtet man die Szene ``von oben'' und ``von der Seite'', so erhält man aufgrund der Strahlensätze die Beziehung

$$x' = \frac{x}{1+z/a}\ ,\ \ \ \ \ y' = \frac{y}{1+z/a}\ ,\ \ \ \ \ z' = 0.$$

Die homogenen Koordinaten des projizierten Punktes lauten

$$\begin{eqnarray*} P' = (x/w, y/w, 0, 1) = (x, y, 0, w) \hbox{ mit } w = 1+z/a . \end{eqnarray*}$$

Für die Transformationsmatrix der perspektivischen Projektion ergibt sich also:

$$P_{persp_{xy}}(-a) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & ... ... 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1/a & 1\\ \end{array} \right).$$