Aufgabe 7.1 (15 Punkte)

1. Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren $\vec{u} = \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 7 \end{array} \right )$ und $\vec{v} = \left ( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right )$ sowie die Länge des Ergebnisvektors.

2. Welchen Winkel schließen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aus 1. ein?

3. Erklären Sie Ihrem Tutor den Zusammenhang zwischen dem Kreuzprodukt zweier Vektoren, dessen Länge und Orientierung.

Geben Sie jeweils Formeln und den Rechenweg an.

Musterlösung vom 02.06.2010:

1. Das Kreuzprodukt von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ lautet: $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \left ( \begin{array}{r} 8 \\ 25 \\ -19 \end{array}\right )$. Die Länge von $\vec{n}$ erhält man durch Betragsbildung: $\vert\vec{n}\vert = \sqrt{(8^2 + 25^2 + (-19)^2)} = \sqrt{1002} \approx 32.4$.

2. Der $\cos$ des Winkels $\alpha$ zwischen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist gegeben durch $$\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vert\vec{u}\vert \cdot \vert\vec{v}\vert}$$. Also gilt $\alpha = \arccos \left ( \displaystyle \frac{30}{\sqrt{75} \cdot \sqrt{26}} \right ) \approx \arccos 0,6794 \approx 47,2 ^{\circ}$.

3. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor der senkrecht auf den beiden anderen Vektoren steht. Stellt man sich den Daumen der rechten Hand als $\vec{u}$ und den Zeigefinger als $\vec{v}$ vor, zeigt das Kreuzprodukt der beiden bei gespreizten Fingern in Richtung des Mittelfingers. Die Länge des Kreuzproduktes zweier Vektoren entspricht dabei dem Flächeninhalt, des Parallelogramms, das die beiden aufspannen.