Aufgabe 7.2 (20 Punkte)

Gegeben seien die kartesische Basis $\mathcal{A} = \left \{ \left [ \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right ],... ...ay} \right ], \left [ \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right ] \right \}$

und die Basis $\mathcal{B} = \left \{ \left [ \begin{array}{c} 2\\ 5\\ 1 \end{array} \right ]... ...y} \right ], \left [ \begin{array}{c} 1\\ -3\\ 1 \end{array} \right ] \right \}$

des $\Bbb{R}^3$.

Der Ursprung zur Basis $\mathcal{B}$ habe (bezüglich der Basis $\mathcal{A}$) die homogenen Koordinaten $[1, 2, 3, 1]$.

Der Punkt $P_{\mathcal{A}}=[1,1,1,1]$ sei gegeben im kartesischen Koordinatensystem, der Punkt $Q_{\mathcal{B}} = [1,1,1,1]$ im durch die Basis $\mathcal{B}$ und den o.g. Ursprung festgelegten Koordinatensystem.

Wie lauten die homogenen Koordinaten von $P_{\mathcal{B}}$ und $Q_{\mathcal{A}}$? Geben Sie an, wie man die Matrizen für den Basiswechsel erhält und schreiben Sie die Matrizen auf.

Musterlösung vom 02.06.2008:
Die Vektoren der Basis $\mathcal{B}$ sind bzgl. der Basis $\mathcal{A}$ gegeben.

Die Matrix $\mathcal{B}\_\mathcal{A}$, die den Übergang von $\mathcal{B}$ nach $\mathcal{A}$ beschreibt, ergibt sich also, indem die Vektoren von $\mathcal{B}$ und die Koordinaten des Ursprungs spaltenweise nebeneinander geschrieben werden:

$$\mathcal{B}\_\mathcal{A} = \left [ \begin{array}{rrrr} 2 & ... ...& 2 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right ]$$

Es gilt:

$$Q_{\mathcal{A}} = \mathcal{B}\_\mathcal{A} \cdot Q_{\mathcal{... ...ox \left [ \begin{array}{c} 7\\ 6\\ 6\\ 1 \end{array} \right ]$$

Die Matrix $\mathcal{A}\_\mathcal{B}$, die für die Berechnung von $P_{\mathcal{B}}$ benötigt wird, erhält man durch Inversion von $\mathcal{B}\_\mathcal{A}$:

$$\mathcal{A}\_\mathcal{B} = \mathcal{B}\_\mathcal{A}^{-1} = \... ... 1 & -\frac{28}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right ]$$

Die Koordinaten von $P_{\mathcal{B}}$ erhält man durch Multipliaktion mit $\mathcal{A}\_\mathcal{B}$ :

$$P_{\mathcal{B}} = \mathcal{A}\_\mathcal{B} \cdot P_{\mathcal{... ...\ -\frac{23}{11}\\ -\frac{21}{11} \\ 1 \end{array} \right ]$$