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NURBS-Flächen

Eine NURBS-Fläche sieht in homogenen Koordinaten folgendermaßen aus:


\begin{displaymath}
\vec{q}^h(u,w) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P^h_{i,j}
N_{i,k}(u)M_{j,l}(w)
\end{displaymath}

Die $P^h_{i,j}$ sind die vierdimensionalen homogenen Stützpunkte. Die $N_{i,k}$ und die $M_{j,l}$ sind die nichtrationalen B-Spline-Basisfunktionen aus Kapitel 7. Um affine Koordinaten zu erreichen, wird wieder durch die homogenen Koordinaten dividiert:


\begin{displaymath}
\vec{q}(u,w) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} h_{i,j}P_...
...{j,l}(w)}
=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{i,j} S_{i,k}(u, w)
\end{displaymath}

wobei $P_{i,j}$ die dreidimensionalen Stützpunkte sind. Sie ergeben das Kontrollnetz für die Oberfläche. Bei den $S_{i,j}(u, w)$ handelt es sich um die biparametrisierten Flächenbasisfunktionen


\begin{displaymath}
S_{i,j}(u,w)=
\frac{h_{i,j}N_{i,k}(u)M_{j,l}(w)}{\sum_{i1=0}^{n}\sum_{j1=0}^{m}h_{i1,
j1}N_{i1,k}(u)M_{j1,l}(w)}
\end{displaymath}

Die $S_{i,j}(u, w)$ sind nicht das Produkt der $R_{i,k}(u)$ und der $R_{j,l}(w)$ aus Kapitel 7. Sie haben aber ähnliche analytische Eigenschaften, so daß die NURBS-Fläche ähnliche analytische und geometrische Eigenschaften, wie die früher erwähnten NURBS-Kurven:


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