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Matrixinversion

Analog zum zweidimensionalen Fall werden die dreidimensionalen Transformationen durch Verknüpfung homogener Koordinaten mit $4 \times 4$-Transformationsmatrizen dargestellt.

Sei $A = (a_{ik})$, $1 \leq i, k \leq 4$, eine $4 \times 4$-Matrix:

\begin{displaymath}
A = \left( \begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_...
...{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
\end{array} \right)
\end{displaymath}

Ist $D = det\;A = \vert a_{ik} \vert$ die Determinante von $A$, so bezeichnet man als Unterdeterminante des Elementes $a_{ik}$ diejenige 3-reihige Determinante, die aus $D$ durch Streichen der $i$-ten Zeile und der $k$-ten Spalte hervorgeht. Unter der Adjunkten $A_{ik}$ des Elementes $a_{ik}$ versteht man die mit dem Vorzeichen $(-1)^{i+k}$ versehene Unterdeterminante von $a_{ik}$.

Beispiel:

\begin{displaymath}
A_{23} = - \left\vert \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a...
...{44} - a_{34}
a_{41}) + a_{14}(a_{31} a_{42} - a_{32} a_{41})]
\end{displaymath}

Die Adjunkten sind nützlich zur Berechnung der Determinanten von $A$ sowie der inversen Matrix $A^{-1}$ (sofern diese existiert!):

\begin{displaymath}
\hbox{det }A = \sum_{k=1}^4{a_{1k}A_{1k}}
\hspace{1cm}
A^{-1...
...{43} \\
A_{14} & A_{24} & A_{34} & A_{44}
\end{array} \right)
\end{displaymath}


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