Zusammenfassung der bisherigen Prozesse

Zunächst wollen wir uns einer elektromagnetischen Welle in einem leeren Resonator zuwenden. Ihr zeitlicher Verlauf kann mit einer Sinusschwingung beschrieben werden.

$$A(t)=A_{0} *e^{-\alpha*t}$$

$$\frac{\Delta A}{\Delta t}=-\alpha*A$$ (5)

Daraus folgt:

$$E(t)=A_{0}*e{-\alpha*t}*\sin(\omega t+\varphi)$$ (6)

Nun ist der Resonator aber mit Rubinatomen angefüllt, weshalb die Amplitudenhöhe zeitlich auch von den vorgenannten Prozessen abhängt. Durch die Absorbtion verliert sie abhängig von der Anzahl an Atomen im Grundzustand, einem Proportionalitätsfaktor $\beta$ und von der Amplitude selbst Energie.

$$\frac{d A_{Absorbtion}}{dt}=-\beta*A*N_{1}$$ (7)

$$N_{1}=Anzahl\;der\;Atome\;im\;Grundzustand$$

Durch die induzierte Emission gewinnt sie entsprechend:

$$\frac{d A_{ind}}{d t}=\beta*A*N_{2}$$ (8)

$$N_{2} =Anzahl\;der\;Atome\;im\;angeregten\;Zustand$$

Somit ergibt sich ingesamt für die zeitliche Veränderung der Amplitude:

$$\frac{d A}{d t} = \beta*A*N_{2}-\beta*A*N_{1}-\alpha*A$$

$$= (\beta*N_{2}-\beta*N_{1}-\alpha)*A$$

$$\frac{d A}{d t} = G*A$$ (9)

,wobei $\alpha , \beta >$ 0 sind.
Diese Differentialgleichung läßt sich mit einem exponentiellen Ansatz lösen.

$$A=c*e^{G*t}$$ (10)

Damit die Welle nicht (einfach) abklingt, muß G $\ge$ 0 sein, was auf die Gleichung

$$N_{2}-N_{1}\ge\frac{\alpha}{\beta}$$ (11)

führt. Dies ist die Laserbedingung von Schawlow und Townes.
Nun müssen wir uns aber mit dem Problem beschäftigen, daß nach dem Boltzmannschen Verteilungsgesetz

$$\frac{N_{2}}{N_{1}}=e^{-\frac{\Delta W}{K*T}}$$

$$T=absolute\;Temperatur$$

$$K=Boltzmann-Konstante(1,38*10^{-23}\frac{J}{K})$$

$$\Delta W\;im\;Bereich\;von\;1eV=1,602*10^{-19}J$$ (12)

bei Raumtemperatur das Verhältnis von angeregten zu Atomen im Grundzustand etwa $1,5*10^{-17}$ beträgt, G also negativ ist. Um dieses zu ändern muß der Anteil, der sich im angeregten Zustand befindlichen Atome durch Pumpen erhöht werden, die Inversion $D=(N_{2}-N_{1})$ vergrößert werden.

Der Faktor $\alpha$ der Zerfallsrate im Resonator kann durch gute Spiegelung verringert werden, allerdings soll immer noch Licht nach außen dringen können ¹ und im Faktor $\beta$ sind spezifische Eigenschaften der verwendeten Atome enthalten. Aber mit diesen beiden Faktoren wollen wir uns nicht weiter beschäftigen. Wir betrachten sie im folgenden als fest gegeben

Nehmen wir nun an, daß wir die Laserbedingung 11 erfüllt hätten, dann wächst A exponentiell an. Aufgrund des Energieerhaltungssatzes kann dieser Prozess aber nicht unbeschränkt sein. ``Was ist also der begrenzende Faktor¿` Das elektromagnetische Feld bezieht seine Energie aus den Emissionen der in den Grundzustand zurückkehrenden Atome. Dies bedeutet, daß D zeitlich nicht konstant sein kann. Ohne Lasertätigkeit befindet sich D in einem durch Pumpen und Abstrahlung schräg zur Resonatorebene und Wechselwirkungen der Atome (auch die Randatome mit der Umgebung) untereinander bestimmten Gleichgewichtszustand $D_{0}$. Durch Lasertatigkeit wird die tatsächliche Inversion D gegenüber $D_{0}$ aufgrund der Abgabe von Energie an das elektromagnetische Feld herabgesetzt. Um diese Abnahme in die Amplitudengleichung einbauen zu können, müssen wir einen Zusammenhang mit dieser finden. Die gespeicherte Energie ist $(N_{2}-N_{1})*\Delta W$, also ist $D*\Delta W=D_{0}*\Delta W$ - abgegebende Energie an das EM-Feld.

$$D* \Delta W=D_{0}*\Delta W-\gamma*A^{2}$$ (13)

Dies wird nun in die Gleichung 9 eingesetzt.

$$\frac{d A}{d t} = \beta*A*N_{2}-\beta*A*N_{1}-\alpha*A$$ (14)

$$= (\beta*D-\alpha)*A$$

$$= (\beta*(D_{0}-\frac{\gamma}{\Delta W}*A^{2})-\alpha)*A$$

$$\frac{d A}{d t} = (\beta*D_{0}-\alpha)*A-\frac{\beta*\gamma}{\Delta W}*A^{3}$$ (15)

Nun enthält die Gleichung neben dem linearen Glied, welches für sich alleine zu einem exponentiellen Anstieg führen würde, auch eine bremsende Nichtlinearität. Betrachten wir nun als erstes den stationären Fall:

$$\frac{d A}{d t} =0$$

$$(\beta*D_{0}-\alpha)*A-\frac{\beta*\gamma}{\Delta W}*A^{3} =0$$

$=>$

$$A=0\; \vee (\beta*D_{0}-\alpha)-\frac{\alpha*\gamma}{\Delta W}*A^{3}= 0$$

$$A=0\; \vee \Delta W*\frac{\beta*D_{0}-\alpha}{\beta*\gamma}= A^{2}$$ (16)

Durch die zweite Gleichung erhalten wir nur dann eine weitere reelle Lösung, wenn

$$b*D_{0}-\alpha > 0$$

$$D_{0} > \frac{\alpha}{\beta}$$ (17)

Dies ist genau die Laserbedingung 11. Noch eine weitere Erkenntnis liefert uns die Gleichung 17. Die Intensität des Laserlichtes nimmt bei verstärkten Pumpen linear gegenüber $D_{0}$ zu.