Berechnung der Formfaktoren

Die Formfaktoren werden bestimmt mit Hilfe der Gleichung

mit

$\phi_i$	$=$	Winkel zwischen Normale auf Fläche $i$ und Verbindungslinie zwischen Fläche $i$ und Fläche $j$
$\phi_j$	$=$	Winkel zwischen Normale auf Fläche $j$ und Verbindungslinie zwischen Fläche $i$ und Fläche $j$
$r_{ij}$	$=$	Entfernung zwischen Fläche $dF_i$ und Fläche $dF_j$
$b_{ij}$	$=$	Blockierungsfunktion, falls Teile von Fläche $j$ aus der Sicht von Fläche $i$ verdeckt sind.
$F_i$	$=$	Flächeninhalt von Fläche $i$

Abbildung 20.1: Der Berechnung von Formfaktoren zugrundeliegende Geometrie

Die geometrische Interpretation beschreibt den Formfaktor als das Verhältnis der Basisfläche einer Halbkugel zur Orthogonalprojektion der auf die Halbkugel projizierten Fläche: Erst projiziert man die von $F_i$ aus sichtbaren Teile von $F_j$ auf eine Halbkugel mit Radius Eins um $dF_i$, projiziert diese Projektion orthogonal auf die kreisförmige Grundfläche der Halbkugel und dividiert schließlich durch die Kreisfläche. Die Projektion auf die halbe Einheitskugel entspricht in der Gleichung dem Term $\cos \phi_{j}/r^{2}_{ij}$, die Projektion auf die Grundfläche entspricht der Multiplikation mit $\cos \phi_i$, und die Division durch den Flächeninhalt des Einheitskreises liefert den Wert $\pi$ im Nenner.

Abbildung 20.2: Geometrische Interpretation des Formfaktors

Abbildung 20.3: Simulation der Halbkugel durch Halbwürfel

Zur numerischen Berechnung wird die Halbkugel durch einen Halbwürfel (hemi-cube) mit dem Zentrum im Ursprung und dem Normalvektor in der $z$-Achse ersetzt. Die Oberseite des Würfels ist dabei parallel zur Fläche. Jede Seite des Halbwürfels wird in ein Raster gleich großer quadratischer Zellen aufgeteilt. (Die Auflösungen reichen von $50 \times 50$ bis zu mehreren Hundert pro Seite.) Dann wird jedes Flächenelement auf die Seiten des Halbwürfels projiziert. Dazu benutzt man einen Algorithmus, der für jede Zeile die Kennung des nächsten schneidenden Elements speichert. Diese Elementpuffer kann man mit einem $z$-Puffer-Algorithmus für jede Seite des Halbwürfels berechnen, bei dem man für jede Zelle statt der Schattierung die Kennung der nächstliegenden Fläche speichert. Jeder Zelle des Halbwürfels ist ein Delta-Formfaktor zugeordnet, der von der Position der Zelle abhängt und vorher berechnet wird. Für eine beliebig feine Rasterung der Quaderoberfläche ergibt sich der Formfaktor $F_{ij}$ als Summe aller von der Fläche $F_j$ überdeckten Rasterzellen. Wird eine Rasterzelle von mehreren Flächen überdeckt, wird sie der Fläche mit der geringsten Entfernung zugerechnet. Für die Summe aller Formfaktoren einer Fläche $F_i$ gilt