Anwendung des Kreuzprodukts

Gegeben sei eine Fläche durch 3 nicht kollineare Punkte $P_{1},P_{2}, P_{3}$.

Der Vektor $\vec{P_{2}-P_{1}}\times \vec{P_{3}-P_{1}}$ bildet den Normalenvektor zur Fläche.
Ist eine Ebene durch ihre Ebenengleichung $Ax+By+Cz+D=0$ gegeben, so ergibt sich der Normalenvektor als $(A \; B \; C)^T$.
Ist ein Normalenvektor $(A \; B \; C)^T$ gegeben, so errechnet sich $D$ durch Einsetzen eines beliebigen Punktes der Ebene.
Ein Punkt $(x,y,z)$ liegt

oberhalb der Ebene,	falls	$Ax+By+Cz>-D$
unterhalb der Ebene,	falls	$Ax+By+Cz<-D$
in der Ebene,	falls	$Ax+By+Cz=-D$

Wir werden jede ebene Fläche als Ausschnitt einer Ebene ansehen und dem entsprechenden Polygon eine Flächennormale $\vec{n}$ zuweisen. Der Umlaufsinn des Polygons entscheidet, in welche Richtung die Flächennormale weist:

Umlaufsinn bei Polygonen

Dreieck mit Punkten im Uhrzeigersinn

Dreieck mit Punkten im Gegenuhrzeigersinn

ObdA werden der erste, der zweite und der letzte Punkt eines Polyogns zur Bestimmung der Normalen herangezogen. Im Fall eines im Uhrzeigersinn (clockwise) orientierten Polygons ergibt sich:

$$\vec{n_{cw}} = \vec{P_{2}-P_{1}}\times \vec{P_{3}-P_{1}} = \... ...3}\\ v_{1} \cdot w_{2} - v_{2} \cdot w_{1} \end{array}\right)$$

Falls das Polygon gegen den Uhrzeigersinn (counter clockwise) orientiert ist, tauschen die Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ die Plätze:

$$\vec{n_{ccw}} = \vec{P_{3}-P_{1}}\times \vec{P_{2}-P_{1}} = ... ...3}\\ w_{1} \cdot v_{2} - w_{2} \cdot v_{1} \end{array}\right)$$

Es gilt also:

$$\vec{n_{cw}} = -\vec{n_{ccw}}$$

Die beiden Normalen weisen in entgegengesetzte Richtungen (Schiefsymmetrie des Kreuzproduktes).

Wir werden alle Polygone gegen den Uhrzeigersinn orientieren. Das hat den Vorteil, daß die Normale einer Fläche, die man so betrachtet, daß sie gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist, in Richtung des Betrachters zeigt. Man ''sieht'' die Seite der Fläche, die die ''Außenseite'' sein soll.

Das Kreuzprodukt ist linear in jedem Argument. Es ist weder kommutativ (s.o.) noch assoziativ ( $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$).