Transformation von Koordinatensystemen

Wenn wir ein Koordinatensystem wählen, um die Punkte des $\mathbb{R}^3$ zu beschreiben, dann wählen wir damit auch eine Basis, die den Vektorraum aufspannt. Die Basisvektoren sind die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen. Zwei verschiedene Koordinatensysteme haben zwei verschiedene Basen.

Die Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes bedeutet also einen Basiswechsel. Gegeben sei ein Koordinatensystem $A$ (z.B. das Kartesische Koordinatensystem) mit zugehöriger Basis $\mathcal{A}$. Z.B. die kanonische Basis (in Matrixschreibweise mit Spaltenvektoren):

$$\mathcal{A}_{kart} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$$

In homogenen Koordinaten werden als vierter Spaltenvektor die Koordinaten des Ursprungs von Koordinatensystem $A$, beschrieben bzgl. Basis $\mathcal{a}$ (hier also: $(0 \; 0 \; 0 \; 1)^T$), hinzugenommen:

$$\mathcal{A}_{kart} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & ... ...1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Weiterhin sei ein zweites - von $A$ verschiedenes - Koordinatensystem $B$ gegeben. Auch dieses Koordinatensystem spezifiziert 4 ausgezeichnete Elemente: Seinen Ursprungspunkt $B_w$ und die drei Einheitsvektoren $\vec{B}_x$, $\vec{B}_y$, $\vec{B}_z$.

Diese Elemente lassen sich sowohl bzgl. der Basis $\mathcal{A}$ als auch bzgl. der Basis $\mathcal{B}$ darstellen. Um von einer Darstellung in die andere zu kommen, muß die gegebene Darstellung nur mit der im Folgenden beschriebenen Matrix mutlipliziert werden.

Wenn man die homogenen Koordinatenvektoren in Spaltenschreibweise nebeneinander anordnet ergeben sie die Matrix $M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}}$, die den Übergang von Basis $\mathcal{B}$ zur Basis $\mathcal{A}$ beschreibt:

$$M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}} = \left( \vec{B}_x \; \vec{B}_y \; \vec{B}_z \; B_w \right)$$

Beispiel (für den 2-dimensionalen Fall):

$x$-Achse:	$\vec{B_x}$	lautet	$(\sqrt {\frac{1}{2}} \;\; \sqrt{\frac{1}{2}} \;\; 0)^T$
$y$-Achse:	$\vec{B_y}$	lautet	$( - \sqrt{\frac{1}{2}} \;\; \sqrt{\frac{1}{2}} \;\; 0)^T$
Ursprung:	$B_w$	lautet	$(4 , 1 , 1)$
Punkt:	$P$_$\mathcal{B}$	lautet	$(2 \cdot \sqrt{2} , 4 \cdot \sqrt{2} , 1)$

Der Aufbau der Matrix $M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}}$ repräsentiert die erforderliche Drehung und Verschiebung, um einen aus der Sicht von Koordinatensystem $B$ (also bzgl. Basis $\mathcal{B}$ beschriebenen Punkt $P$ aus der Sicht von Koordinatensystem $A$ (also bzgl. $\mathcal{A}$) zu beschreiben. Im zwei-dimensionalen Fall wird zunächst der Punkt $P$ um den Winkel $\alpha$ gedreht, der sich zwischen den Achsen der Koordinatensysteme $A$ und $B$ befindet. Dann wird eine Translation durchgeführt mit dem Wert der Ursprungsposition von $B$. Cosinus und Sinus des Drehwinkels $\alpha$ ergeben sich gerade aus den Werten $a$ bzw. $b$, wobei die Einheitsvektoren $(a \; b)^T$ und $(-b \; a)^T$ die Basis für Koordinatensystem $B$ darstellen.

Also läßt sich in obigem Beispiel der Punkt $p$ wie folgt transformieren:

$$\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{\frac{1}{2}} & -\sqrt{\frac{... ...ight) = \left( \begin{array}{c} 2\\ 7\\ 1 \end{array}\right)$$

Um einen Punkt $P_{\mathcal{A}}$ im Koordinatensystem $A$ bzgl. des Koordinatensystems $B$ zu spezifizieren, verwendet man die inverse Matrix zu $M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}}$:

$$M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}} \cdot \vec{p}_{\mathcal{B}} = \vec{p}_{\mathcal{A}}$$

$$\Leftrightarrow~~~~ \vec{p}_{\mathcal{B}} = M_{\mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}}^{-1} \cdot \vec{p}_{\mathcal{A}}$$