Aufgabe 7.3 (30 Punkte)

Gegeben sei ein Quader mit den folgenden homogenen Eckkoordinaten:

$E_1 = (-5, 3, 2, 1)$,	$E_2 = (-5, 3, -2, 1)$,
$E_3 = ( 5, 3, -2, 1)$,	$E_4 = ( 5, 3, 2, 1)$,
$E_5 = (-5, -3, 2, 1)$,	$E_6 = (-5, -3, -2, 1)$,
$E_7 = ( 5, -3, -2, 1)$,	$E_8 = ( 5, -3, 2, 1)$.

Geben Sie die Transformationsmatrizen für die folgenden Projektionen an, berechnen Sie die projizierten Koordinaten der Eckpunkte und zeichnen Sie den Quader.

1. Perspektivische Projektion mit der $xy$-Ebene als Bildebene und dem Punkt $(0,0,-5)$ als Projektionszentrum

2. Schiefe Parallelprojektion mit der $xy$-Ebene als Bildebene, $\alpha = 35^{\circ}$ und $\beta = 45^{\circ}$

3. Schiefe Parallelprojektion mit der $xy$-Ebene als Bildebene, $\alpha = 50^{\circ}$ und $\beta = 63.43^{\circ}$

Hinweis: Erstellen Sie Ihre Zeichnungen mit einem Grafikprogramm wie z.B. xfig oder Visio. Sie können auch per Hand zeichnen, nutzen Sie dann aber ein Lineal.

Musterlösung vom 02.06.2010:

1. Unter der angegebenen perspektivischen Projektion

   
   

   $$P_{persp_{xy}}(-4) = \left [ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 ... ...& 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & 1\\ \end{array} \right ]$$
   
   

   erhalten die acht Eckpunkte die folgenden Koordinaten:

   $E_1 = (-3.57, 2.14, 0, 1)$,	$E_2 = (-8.33, 5, 0, 1)$,
   $E_3 = ( 8.33, 5, 0, 1)$,	$E_4 = ( 3.57, 2.14, 0, 1)$,
   $E_5 = (-3.57, -2.14, 0, 1)$,	$E_6 = (-8.33, -5, 0, 1)$,
   $E_7 = ( 8.33, -5, 0, 1)$,	$E_8 = ( 3.57, -2.14, 0, 1)$.

   Vom Projektionszentrum aus gesehen ergibt sich das folgende Bild:

   
   

   Da die Bildebene nur eine Hauptachse des Quaders schneidet, ergibt sich nur ein Fluchtpunkt.

2. Unter der angegebenen schiefen Parallelprojektion

   
   

   $$P_{schief_{xy}}(35^{\circ}, 1) = \left [ \begin{array}{rrrr}... ...& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right ]$$
   
   

   erhalten die acht Eckpunkte die folgenden Koordinaten:

   $E_1 = (-6.638, 4.156, 0, 1)$,	$E_2 = (-3.362, 1.844, 0, 1)$,
   $E_3 = ( 6.638, 1.844, 0, 1)$,	$E_4 = ( 3.362, 4.156, 0, 1)$,
   $E_5 = (-6.638, -1.844, 0, 1)$,	$E_6 = (-3.362, -4.156, 0, 1)$,
   $E_7 = ( 6.638, -4.156, 0, 1)$,	$E_8 = ( 3.362, -1.844, 0, 1)$.

   Es ergibt sich das folgende Bild. Hinweis: Die X-Achse zeigt hier nach links, wir betrachten das Bild also Richtung der negativen Z-Achse.

   
   

   Es handelt sich um die Kavalierprojektion. Deshalb behalten alle Kanten in z-Richtung ihre Länge.

3. Unter der angegebenen schiefen Parallelprojektion

   
   

   $$P_{schief_{xy}}(50^{\circ}, 0.5) = \left [ \begin{array}{rrr... ...& 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{array} \right ]$$
   
   

   erhalten die acht Eckpunkte die folgenden Koordinaten:

   $E_1 = (-5.642, 3.766, 0, 1)$,	$E_2 = (-4.358, 2.234, 0, 1)$,
   $E_3 = ( 5.642, 2.234, 0, 1)$,	$E_4 = ( 4.358, 3.766, 0, 1)$,
   $E_5 = (-5.642, -2.234, 0, 1)$,	$E_6 = (-4.358, -3.766, 0, 1)$,
   $E_7 = ( 5.642, -3.766, 0, 1)$,	$E_8 = ( 4.358, -2.234, 0, 1)$.

   Es ergibt sich das folgende Bild. Hinweis: Die X-Achse zeigt hier nach links, wir betrachten das Bild also Richtung der negativen Z-Achse.

   
   

   Es handelt sich um die Kabinettprojektion. Deshalb werden alle Kanten in z-Richtung um die Hälfte verkürzt.