Aufgabe 3.2 (25 Punkte)

Seien wieder die Punkte $P_{1}=\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right),\, P_{2}=\left(\beg... ... P_{3}=\left(\begin{array}{c} 2\\ -2\\ -1 \end{array}\right)\in\mathbb{R}^{3}$ gegeben. Konstruieren Sie wieder eine Matrix $M$, die den Punkt $P_{3}$ um die von $P_{1}$ und $P_{2}$ definierte Gerade um den Winkel $\varphi=\frac{\pi}{4}$ dreht. Gehen Sie diesmal folgendermaßen vor:

1. Geben Sie die Gerade $a\left(t\right)=w_{0}+t\cdot w$, die durch $P_{1}$ und $P_{2}$ geht, in Parameterform an, sodass $a\left(0\right)=P_{1}$ und $a\left(1\right)=P_{2}$.
2. Konstruieren Sie einen Vektor $u\neq0$, sodass $u\cdot w=0$, d.h. $w$ steht orthogonal auf $u$ und den Vektor $v=u\times w$.
3. Konstruieren Sie die Basentransformationsmatrix $M_{B\rightarrow E}$, die einen Punkt $P^{B}$, beschrieben in dem Koordinatensystem $B\left\{ P_{1},\frac{u}{\left\vert u\right\vert},\frac{v}{\left\vert v\right\vert},\frac{w}{\left\vert w\right\vert}\right\}$, in einen Punkt $P^{E}$, beschrieben in dem Standardkoordinatensystem $E\left\{ \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{arr... ...nd{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)\right\}$, überführt.
4. Konstruieren Sie die Rotationsmatrix $R_{z}\left(-\varphi\right)$, die einen Punkt $P$ um die $z$-Achse mit dem Winkel $-\varphi=-\frac{\pi}{4}$ dreht.
5. Berechnen Sie $M_{E\rightarrow B}=M_{B\rightarrow E}^{-1}$ mit der von Matrix4f bereitgestellten Methode und führen Sie Punkt 7. der vorherigen Aufgabe mit den folgenden Matrizen durch:
   1. $M_{L}\mapsto M_{B\rightarrow E}$
   2. $M_{R}\mapsto M_{E\rightarrow B}$
   3. $R_{x}\left(\varphi\right)\mapsto R_{z}\left(-\varphi\right)$
6. Warum erhalten Sie (sofern Sie keinen Fehler gemacht haben) dasselbe Ergebnis wie in Aufgabe 1?

Hinweis: Alle Berechnungen in den Schritten 1. bis 4. haben exakt zu sein.

Musterlösung vom 16.05.2012:

1. s. Aufgabe 1.1
2. Sei $u=\left(\begin{array}{c} -4\\ 0\\ 3 \end{array}\right)$. Damit gilt $u\cdot w=\left(\begin{array}{c} -4\\ 0\\ 3 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 3\\ 12\\ 4 \end{array}\right)=-12+0+12=0$ und $v=u\times w=\left(\begin{array}{c} -4\\ 0\\ 3 \end{array}\right)\times\left(\... ...3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -36\\ 25\\ -48 \end{array}\right)$.
3. Die Transformationsmatrix erhalten wir, indem wir die Basisvektoren als Spalten der Matrix schreiben und in die vierte Spalte den Urpsrung des Koordinatensystem, also $P_{1}$. Wir erhalten
   $$\begin{eqnarray*} M_{B\rightarrow E} & = & \left(\begin{array}{cccc} \vdots & \v... ... & 65\\ 39 & -48 & 20 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 65 \end{array}\right). \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Exkurs Lineare Algebra: Eine solche Matrix ist besonders leicht zu invertieren, da sie die Gestalt $M_{B\rightarrow E}=\left(\begin{array}{cccc} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\... ...e} & p\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ hat, wobei die Vektoren $u^{\prime},\, v^{\prime}$ und $w^{\prime}$ eine Orthonormalbasis sind und $p$ ein beliebiger Punkt. Die Inverse ist dann $M_{B\rightarrow E}^{-1}=M_{E\rightarrow B}=\left(\begin{array}{cccc} \cdots & u... ... & w^{\prime} & \cdots & -p\cdot w^{\prime}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$. In unserem Fall ist also $M_{E\rightarrow B}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{-4}{5} & 0 & \frac{3}{5} & \... ...rac{12}{13} & \frac{4}{13} & -\frac{18}{13}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$.
4. Für die Rotationsmatrix erhalten wir einfach $R_{z}\left(-\varphi\right)=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac... ...\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$.
5. /home/cg/2012/Uebung/Blatt3/Lsg/CG12Blatt3.zip 
6. Die Transformation $M_{E\rightarrow B}$ sorgt dafür, dass alle Punkte bezüglich des Koordinatensystems beschrieben werden, dessen $z$-Achse genau der Gerade entspricht. Daher führt eine Rotation des Punktes um die $z$-Achse und anschließendes Zurücktransformieren mittels $M_{B\rightarrow E}$ zu der gleichen Operation.