Schiefe Projektionen

Bei den schiefen Parallelprojektionen stehen die Sehstrahlen nicht normal auf der Bildebene, sondern schneiden sie unter dem Winkel $\beta$ (Abbildung 12.5 ). Die schiefe Projektion auf die $x y$-Ebene entspricht einer Scherung der $x$- und $y$-Koordinaten proportional zu $z$.

Abbildung 12.5: Bildebene bei der schiefen Projektion

Seien $P_0 = (x, y, 0)$ die orthogonale und $P' = ( x' ,y' ,0)$ die schiefe Projektion von Punkt $P=(x,y,z)$. Sei $L$ die Entfernung von $P_0$ nach $P'$. Dann gilt

$x' =x-L\cdot \cos (\alpha )$
$y' =y+L\cdot \sin (\alpha )$
$z' =0$

Wegen $\tan ( \beta )= \frac{z}{L}$ folgt

$x' =x-z\cdot \frac{\cos (\alpha )}{ \tan ( \beta )}$
$y' =y+z\cdot \frac{\sin (\alpha )}{ \tan ( \beta )}$

Der Winkel $\beta$ regelt im projizierten Bild das Verhältnis von $x$-Ausdehnung zu $z$-Ausdehnung.

Die Koordinaten zweier projizierter Punkte $P'_{1}$, $P'_{2}$ lauten:

$x_{1}' = x_{1}- z_{1}\cdot \cos ( \alpha )/ \tan ( \beta )$
$y_{1}' = y_{1}+ z_{1}\cdot \sin ( \alpha )/ \tan ( \beta )$
$x_{2}' = x_{2}- z_{2}\cdot \cos ( \alpha )/ \tan ( \beta )$
$y_{2}' = y_{2}+ z_{2}\cdot \sin ( \alpha )/ \tan ( \beta )$

Für zwei Punkte, die sich nur bzgl. ihrer $z$-Koordinaten unterscheiden, betragen die Abstände ihrer Bilder in $x$- bzw. $y$-Richtung

$\vert x'_1 - x'_2\vert=\vert(z_{1}- z_{2})\cdot \cos ( \alpha ) / \tan ( \beta )\vert$
$\vert y'_1 - y'_2\vert=\vert(z_{1}- z_{2})\cdot \sin ( \alpha ) / \tan ( \beta )\vert$

für den Abstand

$$\vert P'_1 - P'_2\vert = \sqrt {\vert x'_1 - x'_2\vert^{2} + \vert y'_1 - y'_2\vert^{2}}$$

ergibt sich

$$\vert P'_1 - P'_2\vert= \sqrt {\frac{{(z_1 - z_2 )}^{2}}{\ta... ...ha ) + \sin^{2} ( \alpha ))} = \frac{z_1 - z_2}{\tan (\beta )}$$

wegen

$$\cos^{2} (\alpha )+ \sin^{2} (\alpha ) = 1.$$

Für die Berechnung der Transformationsmatrix benötigt der Algorithmus den Verkürzungsfaktor $d$ und den Scherwinkel $\alpha$. $d$ gibt an, um welchen Faktor zur Bildebene normal stehende Strecken verkürzt werden. Es gilt

$$\begin{eqnarray*} d &=& \frac{1}{\tan (\beta )}\ . \end{eqnarray*}$$

$\alpha$ definiert den Winkel zur Horizontalen, unter dem diese Kanten aufgetragen werden. Für die Koordinaten des so projizierten Punktes $P = (x, y, z, 1)$ gilt

$$\begin{eqnarray*} x'&=& x - z \cdot (d \cdot \cos(\alpha )),\\ y'&=& y + z \cdot (d \cdot \sin (\alpha )),\\ z'&=& 0,\\ w'&=& 1 \end{eqnarray*}$$

Die entsprechende Transformationsmatrix lautet

$$P_{{schief}_{xy}}(\alpha, d) = \left [ \begin{array}{cccc} 1... ...pha ) & 0\\ 0& 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right].$$

Für $d = 0$ ( $\beta = 90^{\circ}$) ergibt sich daraus die orthogonale Projektion. Bei schiefen Projektionen ist der Wert für $d$ immer ungleich Null.

Zwei häufig als Ersatz für Perspektive verwendete Projektionen haben die Werte $d = 1$ ( $\beta = 45^{\circ}$), $\alpha = 35^{\circ}$ (Kavalierprojektion) und $d = 0.5$ ( $\beta = 63.43^{\circ}$), $\alpha = 50^{\circ}$ (Kabinettprojektion). Bei der Kavalierprojektion werden alle auf der Bildebene normal stehenden Strecken unverkürzt abgebildet. Bei der Kabinettprojektion ergibt sich eine Verkürzung auf die Hälfte ihrer ursprünglichen Länge.

Abbildung 12.6: Zwei schiefe Projektionen