Konkurrenz und Koexistenz

Hier wollen wir an Hand der grundlegende Gleichung 14 für die Amplitude untersuchen unter welchen Bedingungen zwei Wellen koexistieren können. Multiplizieren wir die Gleichung mit 2*A, so erhalten wir:

$$2*A*\frac{dA}{dt}=2*\beta*A^{2}*N_{2}-2*\beta*A^{2}*N_{1}-2*\alpha*A^{2}$$ (27)

Unter Anwendung der Differentiationsregel $2*A*\frac{dA}{dt}=\frac{dA^{2}}{dt}$ und der Substitution $B=a^{2}$ wird sie zu:

$$\frac{dB}{dt}=2*\beta*B*(N_{2}-N_{1})-2*\alpha*B$$ (28)

Bei zwei Wellen haben wir entsprechend :

$$\frac{dB_{1}}{dt} = 2*\beta_{1}*B_{1}*(N_{2}-N_{1})-2*\alpha_{1}*B_{1}$$ (29)

$$\frac{dB_{2}}{dt} = 2*\beta_{2}*B_{2}*(N_{2}-N_{1})-2*\alpha_{2}*B_{2}$$ (30)

Hierbei ist $B1\neq B2$ und wir wollen, obwohl die Inversion D normalerweise auch von $B_{i}$ abhängt, für beide Gleichungen annehmen $D=N_{2}-N_{1}$.

$$\frac{dB_{1}}{dt} = 2*\beta_{1}*B_{1}*D-2*\alpha_{1}*B_{1}$$ (31)

$$\frac{dB_{2}}{dt} = 2*\beta_{2}*B_{2}*D-2*\alpha_{2}*B_{2}$$ (32)

Für den stationären Fall erhalten wir als nicht triviale Lösung:

$$D = \frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}$$ (33)

$$D = \frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}$$ (34)

Dies ist ein Widerspruch², denn in vielen Lasern sind die Abklingkonstanten $\beta_{i}$ für die verschiedenen Moden ( stehende Wellen im Resonator) gleich, jedoch nicht die Gewinnkonstanten $\alpha_{i}$. Es überlebt nur die Welle mit der größten Gewinnkonstanten $\alpha$, wie anschaulich klar ist, und auch an Hand von Computersimulationen überprüft werden kann.